Question

求解一道数学题，要详解过程

函数f(x)=ax+b/1+x²是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(1/2)=2/5,
(1).求函数f(x)的解析式 (2).用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数 （3）。解不等式f(t-1)+f(t)＜0

Answer 1

1、
奇函数则f(0)=0
所以b/1=0
b=0
f(1/2)=(a/2)/(1+1/4)=2/5
a=1
所以f(x)=x/(1+x²)

2、
令-1<x1<x2<1
则f(x1)-f(x2)=x1/(1+x1²)-x2/(1+x2²)
通分，分母(1+x1²)(1+x2²)>0
看分子

分子=x1+x1x2²-x2-x1²x2
=(x1-x2)-(x1x2)(x1-x2)
=(x1-x2)(1-x1x2)
x1<x2,所以x1-x2<0
-1<x1<1,-1<x2<1
所以-1<x1x2<1
所以1-x1x2>0
所以分子小于0
所以f(x1)-f(x2)<0
即-1<x1<x2<1
f(x1)<f(x2)
所以是增函数

3、
f(t-1)<-f(t)
奇函数
f(t-1)<f(-t)
增函数，且由定义域
-1<t-1<-t<1

-1<t-1
t>0

t-1<-t
t<1/2

-t<1
t>-1

所以0<t<1/2

Answer 2

解：
(1)
由已知得f(-x)=-f(x)
∴-ax+b/(x^2+1)=-ax-b/(x^2+1)
解得b=-1
则f(x)=ax-1/(x^2+1)
又f(1/2)=2/5
∴2/5=a/2-1/(1+1/4)
解得a=12/5
∴f(x)=12x/5-1/(x^2+1)

(2)
设-1<x1<x2≤0
则f(x2)-f(x1)=12x2/5-1/(x2^2+1)-12x1/5+1/(x1^2+1)
=12(x2-x1)/5+1/(x1^2+1)-1/(x2^2+1)
=12(x2-x1)/5+[(x2+x1)(x2-x1)]/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
=(x2-x1){12/5+[(x2+x1)/(x1^2+1)(x2^2+1)]}
显然f(x2)-f(x1)>0
∴f(x)在(-1,0]上单调递增
又f(x)是奇函数
∴f(x)在(0,1)上单调递增
综上所述f(x)在(-1,1)上单调递增

(3)
化为f(t-1)<-f(t)
又f(x)是奇函数
∴f(t-1)<f(-t)
由已知得
-1<t-1<1
-1<-t<1
t-1<-t
解得t∈(0,1/2)