Question

一道微积分题目

详解，谢谢

Answer 1

直接等价无穷小替换就行了
尤其是填空题的话 直接替换比较方便
当然很多书籍都会说加减法算法过程不能用等价无穷小替换的说法
其实这个不能是有一定的条件的 有的时候是行的
泰勒展开求极限就是这个原理 因为有的时候加减过程中的等价无穷小的替换量是同级的也就是说其加减后可能为0 那么就不适用了 就应继续用泰勒公式展开直到两者加减项之间不为0
这道题明显用加减法不为0的 所以直接用 ln（1-2x）=-2x
答案为4
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不好意思 答的有点快 疏忽了 这是个抽象函数的题目 前面说的那句话
“这道题明显用加减法不为0的 ”就错了
看样子还是应该用原始方法 就是说 应该把xf（x）和ln（1-2x）在x=0处用泰勒展开才行，最后有式子(（f（0）-2）x+（f’（0）-2）x^2)/x^2=4
可以看出f‘（x）=4+2=6得 就有(f（x）-f(0))/x=6 所以剩下的就剩f（0）了 在前面式子里有一项（f（0）-2）x/x^2可以看出 要使等式成立f（0）必为2，所以就有了f（x）-2/x=6 也就是f’（0）的值了

Answer 2

分子加上一个－2x就行了，“凑”出[f(x)-2]/x。第二部分用洛必达法则。

Answer 3

由泰勒公式得In(1-2x)=-2x-2x^2+o(x^2)
lim[xf(x)+In(1-2x)]/x^2
=lim[xf(x)-2x-2x^2+o(x^2)]/x^2
=lim{[f(x)-2]/x-2+o(x^2)/x^2}=4
∴lim[f(x)-2]/x=4+2=6

Answer 4

＝4

对原式，同时除X， 有对数的那块再用洛比达法则，化简，即得所求式，即答案＝4