Question

高三数学（解析几何）

若椭圆b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,P为椭圆上的一点，∠F1PF2=阿尔法，则三角形F1PF2的面积等于b^2tan(阿尔法/2)。类比椭圆这一结论，若双曲线b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2（a>0,b>0）的两个焦点为F1,F2,P为双曲线上的一点，∠F1PF2=阿尔法，则三角形F1PF2的面积等于？
求类比的过程？

Answer 1

b^2cot(α/2)
椭圆的焦点三角形推导
对于焦点△F1PF2,设∠F1PF2=θ,PF1=m,PF2=n
则m+n=2a
在△F1PF2中,由余弦定理:
(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ
即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)
所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2
所以mn=2b^2/(1+cosθ)
S=(mnsinθ)/2.............(正弦定理的三角形面积公式)
=b^2*sinθ/(1+cosθ)
=b^2*[2sin(θ/2)cos(θ/2)]/2[cos(θ/2)]^2
=b^2*sin(θ/2)/cos(θ/2)
=b^2*tan(θ/2)

类比双曲线时
(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ
即4c^2=(m-n)^2+2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1-cosθ) 此处注意与椭圆的区别
S=(mnsinθ)/2
半角公式 cot（θ/2）=（1-cosθ）/sinθ
代入即得 b^2cot(α/2)