Question

一道初二数学几何题

已知：如图，△ACB中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，EH⊥AB于H，CD交BE于F。求证：四边形CEHF为菱形。

Answer 1

因为是平分，那2个角是直角，所以CE=EH，∠CEB=∠BEH（需证全等，这个好证）
又因为CD⊥AB于D，EH⊥AB于H，所以EH平行于CD，所以∠HEF=∠CFE（内错角）
所以CE=CF所以CE=CF=EH，所以为菱形

Answer 2

因为BE是角平分线，所以可以轻易得到：△BEC≌△BEH；△BFC≌△BFH。
所以EC=EH；FC=FH。
再证明EC=FC
∠CFE=∠BCD+∠CBE
∠CEF=∠A+∠ABE
很容易得知：∠BCD=∠A，∠CBE=∠ABE
所以∠CFE=∠CEF
所以EC=FC
所以EC=EH=FC=FH
所以是菱形。

Answer 3

角平分线定理，边CE=EH，EH，CD都垂直AB，所以EH平行于CD

Answer 4

延长HF交CB于Q,
因为BE是角平分线，且EH垂直AB,EC垂直CB,
所以EC=EH
又角EBC=角EBA,角ECB=角EHB
所以ECB全等于EHB
所以CB=HB
根据CFB全等于HFB
CF=FH
角FCB=角FHB
又有对顶角CFQ=HFD
所以CFQ全等于HFD
SO FQ=FD
SO FT垂直CB
又AC垂直CB
SO EC平行HF
又EH平行CD
EH=EC
SO CEHF为菱形