Question

如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，且OP=2.以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M，N两点，且

Answer 1

解：（1）△OPN∽△PMN．
证明：在△OPN和△PMN中，
∠PON=∠MPN=60°，∠ONP=∠PNM，
∴△OPN∽△PMN；

（2）∵MN=ON-OM=y-x，
∵△OPN∽△PMN，
∴
PN
MN
=
ON
PN
，
∴PN2=ON•MN=y（y-x）=y2-xy．
过P点作PD⊥OB，垂足为D．
在Rt△OPD中，
OD=OP•cos60°=2×
1
2
=1，PD=POsin60°=
3
，
∴DN=ON-OD=y-1．
在Rt△PND中，
PN2=PD2+DN2=（
3
）2+（y-1）2=y2-2y+4，
∴y2-xy=y2-2y+4，
即y=
4
2-x
；

（3）在△OPM中，OM边上的高PD为
3
，
∴S=
1
2
•OM•PD=
1
2
•x•
3
=

3

2
x，
∵y＞0，
∴2-x＞0，即x＜2．
又∵x＞0，
∴x的取值范围是0＜x＜2．
∵S是x的正比例函数，且比例系数

3

2
＞0，
∴0＜S＜

3

2
×2，
即0＜S＜
3
．