Question

在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边是a、b、c，b/a+a/b=6cosC,则tanC/tanA+tanC/tanB=？

要过程

Answer 1

∵a/b+b/a=6cosC，
∴a/b+b/a=6(a²+b²-c²)/2ab
∴c²=2(a²+b²)/3 ①
tanC/tanA+tanC/tanB
=tanC(cosA/sinA+cosB/sinB)
=tanC(cosAsinB+sinAcocB)/(sinAsinB)
=tanCsinC/(sinAsinB)
=sin²C/(sinAsinBcosC)
=c²/（abcosC）
=c²/ab*[(a²+b²)/6ab] （由 b/a+a/b=6cosC替换）
=6c²/(a²+b²) （由①替换）
=4

Answer 2

解：因为b/a+a/b=6cosc，所以cosc=(a^2+b^2）/6ab,而cosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab,所以3c^2=2(a^2+b^2)
tanc/tana+tanc/tanb=c/a(cosa/cosc)+c/b(cosb/cosc)
将cosa和cosb用余弦公式展开，并将上面的两个式子代入即得，答案为4
这里还用了sina/sinc=a/c，sinb/sinc=b/c如果满意，谢谢采纳