Question

一个概率问题

一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是2/5；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是7/9．
求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于7/10．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．

Answer 1

7/9 = 1-白球概率的平方

这种算法是错误的，任意摸出2个球，相当于先摸出一个再摸出第二个，摸第二个时，球的总数已经发生变化了，所以摸出第二个球的概率和摸出第一个球不同，一楼二楼的方法都出现了这个错误。

解题:
设总球数为n，则黑球数为2n/5，则任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率为:
1-(1-2/5) * (n-1-2n/5)/(n-1)
化简得
（16/25）*[1+3/(8n-8)]
因为黑球的概率是2/5，而且球都是整个数的，所以总球数n>=5，
n-1>=4
8n-8>=32
3/(8n-8)<=3/32
（16/25）*[1+3/(8n-8)]<=(16/25)*(1+3/32)=7/10
所以从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于7/10 （即 <=7/10）
又因为任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率等于7/9 大于7/10
所以白球数多于黑球数，即任意摸出1个球，得到白球的概率P(白)>=2/5
所以P(红)=1-P(白)-P(黑)<=1-2/5-2/5=1/5
所以红球最少

Answer 2

黑球B, 白球A 红球C
任意摸出1个球,P(B)=2/5
7/9=1-(1-P(A))^2 PA=
PC=1-PA-PB

至少得到1个黑球的概率=1-(1-PB)^2=0.64<0.7

袋中哪种颜色的球个数最少=任意摸出1个球P最少

Answer 3

第一问诚如一楼所述。P(B)=2/5，至少得到1个黑球的概率=1-(1-PB)^2=0.64<0.7

但是第二问不必如此繁琐。从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是7/9，从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于7/10，说明白球个数要多于黑球，又已知黑球占总球的2/5，则必然是红球最少。

Answer 4

p(black)=2/5=0.4; p(white); p(red)
p(black)+p(white)+p(red)=1
1-(1-p(white))^2 = 7/9 => p(white)=0.53
p(red)=0.07 so red ball is the least

1-(1-p(black))^2 = 0.64 < 7/10