Question

高中不等式，急，在线等

应该是用柯西不等式和均值不等式解的，但解答要以手写、照片的形式发上来（不然真的看不懂啊！） 答案满意的追加50分！

Answer 1

楼上证明也错。这一步：

225x^3-159x^2+31x-1>=0

应该因式分解为：(225x-9)(x-1/3)^2>=0

显然当x<1/25时不立。 楼上因式分解错误。 

给个用柯西不等式的证法如下，见下图（如果没看到说明还在审核）：

Answer 2

柯西不等式（均值定理），
因为：a1 a2 a3都是正数，b1 b2 b3都是正数，
则有 ： 根号(a1+a2+a3)x根号(b1+b2+b3)≥根号（a1b1+a2b2+a3b3),
当且仅当a1/b1=a2/b2=a3/b3时，取等号，
由题意得：
根号2=根号（(1-x1) + (1-x2) + (1-x3)），
x1/根号(1-x1) + x2/根号(1-x2) + x3/根号(1-x3)x 根号2 ≥ （根号x1 + 根号x2 + 根号x3）

补充：a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤√(a1^2＋a2^2＋…＋an^2) ×√(b1^2＋b2^2＋…＋bn^2)

Answer 3

怎么都觉得楼上的证明有问题：

如果用柯西不等式的话

要证明的式子左边不是一个根号的式子，这样不成立， 

注：切比雪夫不等式可由排序不等式得到。

详细可看：http://zhidao.baidu.com/question/34765481.html?si=6&;wtp=wk

Answer 4

【注：（1）为方便，换个字母。（2）预备知识：设x,y∈R,则√[2(x²+y²)]≥x+y.现证明：由均值不等式可知，x²+y²≥2xy.==>2(x²+y²)≥x²+2xy+y²=(x+y)².===>√[2(x²+y²)]≥|x+y|≥x+y.当x,y≥0时，有√[2(x+y)]≥√x+√y.(3)排序原理：设0≤x≤y≤z,0≤a≤b≤c.则xc＋yb＋za≤xb＋yc＋xa≤xa＋yb＋zc,即反序≤乱序≤同序】证明：设a,b,c＞0,且a+b+c=1.(一）由预备知识可知，√[2(a+b)]≥√a+√b,且√[2(b+c)]≥√b+√c.且√[2(c+a)]≥√c+√a.三式相加得（√2)[√(a+b)+√(b+c)+√(c+a)]≥2(√a+√b+√c).即：√(a+b)+√(b+c)+√(c+a)≥(√2)[√a+√b+√c].(二）由对称性，不妨设0≤a≤b≤c.===>0＜1/√(b+c)≤1/√(a+c)≤1/√(a+b).由排序原理可知，[a/√(b+c)]+[b/√(a+c)]+[c/√(a+b)]≥[a/√(a+b)]+[b/√(b+c)]+[c/√(c+a)],(1式）(此解同序≥反序)且[a/(b+c)]+[b/√(c+a)]+[c/√(a+b)]≥[b/√(a+b)]+[c/√(b+c)]+[a/√(c+a)].(2式)(此即同序≥乱序）。两式相加得2{[a/√(b+c)]+[b/√(c+a)]+[c/√(a+b)]}≥[(a+b)/√(a+b)]+[(b+c)/√(b+c)]+[(c+a)/√(c+a)]=√(a+b)+√(b+c)+√(c+a)≥(√2)[√a+√b+√c].(结合（一）的结论）====》[a/√(b+c)]+[b/√(c+a)]+[c/√(a+b)]≥(√a+√b+√c)/(√2).再由a+b+c=1可知，[a/√(1-a)]+[b/√(1-b)]+[c/√(1-c)]≥(√a+√b+√c)/(√2).