Question

高中数学 数列前n项求和

2的n－1次方 分之 2n－1 这个通向公式的前n项和。要有步骤，谢谢了。

Answer 1

Sn=1+3/2 + 5/2^2 +...+(2n-1)/2^(n-1)

(1/2)Sn= 1/2 + 3/2^2+5/2^3+...+(2n-3)/2^(n-1)+(2n-1)/2^n

错位相减法得
(1-1/2)Sn=1+2/2+2/2^2+...+2/2^(n-1)-(2n-1)/2^n

Sn=6-(2n+3)/2^(n-1)

Answer 2

An=(2n-1)/2^(n-1)=4*n/2^n-2/2^n

Sn=A1+A2+...+A(n-1)+An
=4*(1/2^1+2/2^2+...+n/2^n)-2*(1/2^1+1/2^2+...+1/2^n)

t=1/2^1+2/2^2+...+(n-1)/2^(n-1)+n/2^n
2t=1+2/2^1+3/2^2+...+(n-1)/2^(n-2)+n/2^(n-1)
相减有
t=1+1/2+1/2^2+...+1/2^(n-1)-n/2^n
=2-2^(1-n)-n*2^(-n)

1/2^1+1/2^2+...+1/2^n=2-2^(1-n)

Sn=4t-2*[2-2^(1-n)]=8-4*2^(1-n)-4n*2^(-n)-4+2*2^(1-n)=4-(n+1)*2^(2-n)