Question

已知f(x)=logax,g(x)=2loga(2x+t-2)（a>0,a不等于1，t∈R）

已知f(x)=logax,g(x)=2loga(2x+t-2)（a>0,a不等于1，t∈R）
（1）当t=4，x∈[1,2]，且F(x)=g(x)-f(x)有最小值2时，求a的值
（2）当0<a<1,x∈[1,2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围

注：a为底数

Answer 1

(1)F(x)=loga[(2x+2)^2/x]=loga(4x+4/x+8).当x∈[1,2]时,4x+4/x+8∈[16,18]。又因为F(x)有最小值2，所以如果0<a<1，那么最小值应该为F（2)=loga18=2,所以a=3根2，舍去；当a>1,最小值为F(1)=loga16=2,a=4.
(2)当0<a<1，f(x)=logax和g(x)=loga(2x+t-2)^2均为减函数，所以如果f(x)≥g(x)恒成立，那么(2x+t-2)^2<x在x∈[1,2]时恒成立。即4x^2+(4t-9)x+(t-2)^2<0恒成立。这样就转化成一般的分类讨论问题了，根据对称轴的位置进行讨论，分三种情况：对称轴小于1；在1和2之间；大于2。具体结果自己做吧。其实很简单的，如果做不出来我再教你。

Answer 2

(1)F(x)=loga[(2x+2)^2/x]=loga(4x+4/x+8).当x∈[1,2]时,4x+4/x+8∈[16,18]。又因为F(x)有最小值2，所以如果0<a<1，那么最小值应该为F（2)=loga18=2,所以a=3根2，舍去；当a>1,最小值为F(1)=loga16=2,a=4.
(2)当0<a<1，f(x)=logax和g(x)=loga(2x+t-2)^2均为减函数，所以如果f(x)≥g(x)恒成立，那么(2x+t-2)^2<x在x∈[1,2]时恒成立。即4x^2+(4t-9)x+(t-2)^2<0恒成立。这样就转化成一般的分类讨论问题了，根据对称轴的位置进行讨论，分三种情况：对称轴小于1；在1和2之间；大于2。具体结果自己做吧。其实很简单的，如果做不出来我再教你。

Answer 3

(1)F(x)=loga[(2x+2)^2/x]=loga(4x+4/x+8).当x∈[1,2]时,4x+4/x+8∈[16,18].又因为F(x)有最小值2,所以如果0