Question

讲一下幂函数

要详细的谢啦！！！！！

Answer 1

幂函数y＝x^α重点是α＝±1，±2，±3，±1/2.

1. α=0.
y=x^0.
图象：过点（1，1），平行于x轴的直线一条（剔去点（0，1））.
定义域：（－∞，0）∪（0，＋∞）.
值域：{1}.
奇偶性：偶函数

2. α∈Z＋.
①α＝1
y=x
图象：过点（1，1），一、三象限的角平分线（包含原点（0，0））.
定义域：（－∞，＋∞）.
值域：. （－∞，＋∞）
单调性：增函数。
奇偶性：奇函数。

②α＝2
y=x^2
图象：过点（1，1），抛物线.
定义域：（－∞，＋∞）.
值域：. [0，＋∞）
单调性：减区间（－∞，0]，增区间[0，＋∞）
奇偶性：偶函数。
注：当α＝2n, n∈N＋时，幂函数y=x^α也具有上述性质。

③α＝3
y=x^3
图象：过点（1，1），立方抛物线.
定义域：（－∞，＋∞）.
值域：. （－∞，＋∞）
单调性：增函数。
奇偶性：奇函数。
注：当α＝2n＋1, n∈N＋时，幂函数y=x^α也具有上述性质。

3．α是负整数。
①α＝－1
y=x^(-1).
图象：过点（1，1），双曲线.
定义域：（－∞，0）∪（0，＋∞）.
值域：. （－∞，0）∪（0，＋∞）
单调性：减区间（－∞，0）和（0，＋∞）。
奇偶性：奇函数。

②α＝－2
y=x^（－2）。
图象：过点（1，1），分布在一、二象限的拟双曲线.
定义域：（－∞，0）∪（0，＋∞）.
值域：（0，＋∞）
单调性：增区间（－∞，0），减区间（0，＋∞）
奇偶性：偶函数。
注：当α＝－2n, n∈N＋时，幂函数y=x^α也具有上述性质。

③α＝－3
y=x^（－3）
图象：过点（1，1），双曲线型.
定义域：（－∞，0）∪（0，＋∞）.
值域：（－∞，0）∪（0，＋∞）
单调性：减区间（－∞，0）和（0，＋∞）
奇偶性：奇函数。
注：当α＝－2n＋1, n∈N＋时，幂函数y=x^α也具有上述性质。

4．α是正分数。
①α＝1/2.
y=x^(1/2)=√x.
图象：过点（1，1），分布在一象限的抛物线弧（含原点）。
定义域：[0，＋∞）.
值域：[ 0，＋∞）.
单调性：增函数。
奇偶性：非奇非偶。
注：当α＝（2n＋1）/（2m）, m,n∈N＋时，幂函数y=x^α也具有上述性质。

②α＝1/3.
y=x^(1/3)
图象：过点（1，1），与立方抛物线y＝x^3关于直线y＝x对称。.
定义域：（－∞，＋∞）.
值域：. （－∞，＋∞）.
单调性：增函数。
奇偶性：奇函数。
注：当α＝（2n－1）/（2m＋1）, m,n∈N＋时，幂函数y=x^α也具有上述性质。

5．α是负分数。
①α＝－1/2.
y=x^(－1/2)=1/√x.
图象：过点（1，1），只分布在一象限的双曲线弧。
定义域：（0，＋∞）.
值域：（ 0，＋∞）.
单调性：减函数。
奇偶性：非奇非偶。
注：当α＝－（2n－1）/（2m）, m,n∈N＋时，幂函数y=x^α也具有上述性质。

②α＝－1/3.
y=x^(－1/3)=1/(3)√x.
图象：过点（1，1），双曲线型。
定义域：（－∞，0）∪（0，＋∞）.
值域：（－∞，0）∪（0，＋∞）.
单调性：减区间（－∞，0）和（0，＋∞）。
奇偶性：奇函数。
注：当α＝－（2n－1）/（2m＋1）, m,n∈N＋时，幂函数y=x^α也具有上述性质。

Answer 2

简介
形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量 幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。

特性
对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意[实数； 排除了为0这种可能，即对于x<0或x>0的所有实数，q不[能是偶数； 排除了为负数这种可能，即对于x为大于或等于0的所有实数，a就不能是负数。

定义域
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数； 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的， 因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.

第一象限
可以看到： （1）所有的图形都通过（1，1）这点.(a≠0) a＞0时 图象过点（0，0）和（1，1） （2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 （3）当a大于1时，幂函数图形下凸；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 （4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 （5）显然幂函数无界限。 （6）a=0,该函数为偶函数 ｛x|x≠0｝。
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