Question

一道高中初中数学衔接题

已知关于x的方程x²-（m-2)x-m²/4=0
（1）求证：无论m什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x1,x2满足|x2|=|x1|+2，求m 的值及相应的x1,x2.
请将（2）的过程写清楚，谢谢，一定要有完整的思路……

Answer 1

x^2 - (m-2) x - (m^2)/4 = 0

(1) 判断式:
[-(m-2)]^2 - 4 * [-(m^2)/4] = (m-2)^2 + m^2
因为 (m-2)^2 >= 0, m^2 >= 0
所以 (m-2)^2 + m^2 > 0
所以 无论m什么实数时, 这个方程总有两个相异实数根

(2) 根据1的结论且两根之积为负 (韦达定理)
因此可知 x1和x2是符号相反的
设 x1 < 0 < x2
则 x2 = -x1 + 2
即 x1 + x2 = 2 = m - 2
所以 m = 4
将m=4带回原式x^2 - (m-2) x - (m^2)/4 = 0
得到x^2 - 2x - 4 = 0
解得:
x1 = 1 - sqrt(5)
x2 = 1 + sqrt(5)
注: sqrt即平方根

Answer 2

（1）就不细说了，算一下判别式就知道恒大于零。
（2）根据1的结论且两根之积为负（韦达定理）
x1和x2是符号相反的，不妨设x1<0<x2，那么就有x2=-x1+2即x1+x2=2=m-2
所以m=4，x1和x2就很容易算了对吧？