Question

一道高中初中数学衔接题

已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程x²-(8p-10q)x+5pq=0至少有一个正整数根，求所有的质数对(p,q)
请写出详细过程，谢谢

Answer 1

由韦达定理知：x1＋x2＝8p－10q，x1·x2＝5pq
由x1＋x2＝8p－10q知，x1、x2中有一个是整数，则另一个也必为整数，再由x1·x2＝5pq知x1、x2都是正整数，又p、q都是质数，故有如下几种情况：
⑴x1＝1，x2＝5pq(或x2＝1，x1＝5pq)
于是有：1＋5pq＝8p－10q，5pq－8p＋10q＝－1
∴(p＋2)(8－5q)＝17
从而p＋2＝17，8－5q＝1，解得：p＝15，q＝7/5，不合题意
⑵x1＝5，x2＝pq(或x2＝5，x1＝pq)
于是有：5＋pq＝8p－10q，pq－8p＋10q＝－5
∴(p＋10)(8－q)＝85＝85×1＝17×5
从而p＋10＝85，8－q＝1，解得：p＝75，q＝7，不合题意
或p＋10＝17，8－q＝5，解得：p＝7，q＝3
⑶x1＝p，x2＝5q(或x2＝p，x1＝5q)
p＋5q＝8p－10q，15q＝7p，得q＝7，p＝15，不合题意
⑷x1＝q，x2＝5p(或x2＝q，x1＝5p)
q＋5p＝8p－10q，11q＝3p，得q＝3，p＝11
即满足条件的质数对有(7，3)、(11，3)