Question

高中数学不等式竞赛题

设a、b、c∈R+，且a+b+c=3，证明：abc（a^2+b^2+c^2)≤3
（保加利亚数学奥林匹克试题）
请认真回答，好的我会进行追加分的
多谢了！

题目应该没有问题

Answer 1

其实这题目很锻炼思维的,下面是我的解答,大家看看对不对。(看图片,文字是latex代码)

由于对于任意$x,y,z \ge 0$,有$(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)$.

把$x=bc,y=ca,z=ab$代入得到,$(bc+ca+ab)^2 \ge 3abc(a+b+c)=9abc$,所以$ab+bc+ca \ge 3\sqrt{abc}$

所以由平均值不等式得到,

\[\sqrt[3]{9abc(a^2+b^2+c^2)}=\sqrt[3]{3\sqrt{abc} \cdot 3\sqrt{abc}(a^2+b^2+c^2)} \]

\[\le \frac{3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}+a^2+b^2+c^2}{3}\le \frac{2(ab+bc+ca)+a^2+b^2+c^2}{3}=3\].

从而证明了$abc(a^2+b^2+c^2)\le 3$.即所需的不等式.

Answer 2

(1)首先由不等式定理x^3+y^3+z^3>=3xyz,(x、y、z∈R+)知：a、b、c∈R+，且a+b+c=3推出：
abc<=1 ----------(*1)
(2)然后（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc，这其中有：
2ab+2ac+2bc>=6(abc)^(2/3)-------(*2)
而由(*1)知：(abc)^(2/3)>=abc -----(*3)
从而由(*2)、(*3)知：
（a+b+c）^2>=(a^2+b^2+c^2)+6abc ------(*4)
(3)观察(*4)左边为9，右边>=2*(a^2+b^2+c^2)^(1/2) * (6abc)^(1/2)
左右两边平方得：81>=24abc（a^2+b^2+c^2)
从而84>81>=24abc（a^2+b^2+c^2)得：
abc（a^2+b^2+c^2)≤3
PS:写的有点凌乱，但是思路应该挺清晰的：）

Answer 3

郁闷啊！刚答的好像都不见了，估计我手机输入长度有限制，我简要述说思路，设b为已知，令a=(3/2-b/2)- 根号t，c=(3/2-b/2)+根号t，b有范围，设函数=左边-3，得到关于t的二次函数，开口向下，只要证明最大值恒小于等于0！其最大值函数是把对称轴带入，得到关于b的函数，求导，得最大值函数的最大最小值，其最大值也是小于等于0的，就证明了！
借鉴于杨满川老师的方法，致敬！

Answer 4

令f(x)=x^2 易知，f(x)是凸函数
由琴生不等式，知 f((a+b+c)/3)≤(f(a)+f(b)+f(c))/3
即 ((a+b+c)/3)^2=1≤(a^2+b^2+c^2)/3
由均值不等式，a+b+c=3 知 abc≤1

非常抱歉，只能做到这儿了。式子的不等号方向存在问题

Answer 5

证明：∵a、b、c∈R+，且a+b+c=3，
∴设a=1-x,b=1，c=1+x,x＜1
abc(a^2+b^2+c^2)=(1-x^2)[(1-x)^2+1+（1+x)^2]=(1-x^2)(3+2x^2)=3-x^2-2x^4≤3