Question

已知正四棱锥P-ABCD的侧棱与底面边长都是2，

已知正四棱锥P-ABCD的侧棱与底面边长都是2，求：（1）直线PA与BC所成的角；（2）直线PA与底面ABCD所成的角；（3）正四棱锥P-ABCD的体积。

Answer 1

解：因为ab//cd，所以：
∠pcd就是异面直线ab与pc的所成角
在△pcd中，pc=pd=cd=2，
可知△pcd是正三角形
则∠pcd=60°
所以异面直线ab与pc的所成角为60°
连结ac.bd，交于点o，连结po
由正棱锥性质可知：po⊥底面abcd
所以po⊥bd
又在正方形abcd中，ac⊥bd
这就是说bd垂直于平面pac的两条相交直线po和ac
所以bd⊥平面pac
又pc在平面pac内，则：bd⊥pc
所以异面直线pc与bd所成的角为90°。

Answer 2

（1）∵在正四棱锥P-ABCD中，BC‖AD
∴直线PA与BC所成的角为∠PAD
∵△PAD为等边三角形
∴∠PAD=60º
（2）过P做面ABCD的垂足O，连接AO
则∠PAO为直线PA与底面ABCD所成的角
∵P-ABCD为正四棱锥
∴AO=√2，PA=2,在R△PAO中，PO=√2
∴∠PAO=45º
（3）由（2）可知，V（P-ABCD）=1/3PO*S（ABCD)=4√2/3