Question

证明函数的单调性

设函数f（x）=x+a/x+b（a＞b＞0），求f（x）的单调区间，判断并证明f（x）在其单调区间上的单调性。

ps.希望能讲得简单易懂些；
希望给出答案的同时能说一下是怎么想的？怎样才能想到这样做？谢谢。

Answer 1

假设定义域区间内两个任意自变量x1，x2，且x1<x2，
那么f(x1)=x1+a/x1+b,f(x2)=x2+a/x2+b
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(a/x1-a/x2)=(x1-x2)+a[(x2-x1)/x1x2]
因为x1<x2，所以x1-x2<0,x2-x1>0，a>0
现在关键判断x1x2积的符号，可以分情况讨论
1）x1<x2<0，故x1x2>0，f(x1)-f(x2)的正负性还无法判断
2）x1<0<x2，故x1x2<0，f(x1)-f(x2)<0，可见在此区间内函数单调递增
3）0<x1<x2，故x1x2>0，f(x1)-f(x2)的正负性还无法判断
综上可以看出在函数的单调区间内单调递增