Question

均值不等式的疑问

x+y+z = pi , 求 sinx+siny+sinz 的最大值
这题用和差化积做是(3/2)*根号2,但是如果用均值不等式，sinx+siny+sinz>=3(sinxsinysinz)^(1/3).当x=y=z=pi/3时取等，此时最小值是(3/2)*根号2，这是怎么回事？
0<x,y,z<pi

Answer 1

你的问题主要在没有搞清处右边应该为定值。
>=(sinxsinysinz)^(1/3).当x=y=z=pi/3时取等
表面上看是取了定值，但这是不允许的。

比如已知x,y为正数，x^2+y^2=4,求x+y的最大值
(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=4+2xy<=4+x^2+y^2=8
此时可用均值不等式因为x,y可以相等，而且x^2+y^2是一个定值，即已知常数。
同样的，
x+y>=2根号xy
2xy<=4
不等号方向相反，又当x=y时可同时取等号，故可将xy=4代入，得x+y>=4(x=y时取到)
此时得xy也是定值、

Answer 2

均值不等式求最值要满足三个条件：
1、正数。2、右边是常数。3、取得等号
此题条件1,2不满足。

Answer 3

sinx+siny+sinz>=3(sinxsinysinz)^(1/3)取等的条件是sinx=siny=sinz，例如x=pi,y=z=0均值不等式也是成立的。均值不等式表达的是代数平均值和几何平均值之间的关系，由于这里的几何平均值是不固定的，所以代数平均值的最小取值是不能通过均值不等式计算的