Question

如果关于x的不等式ax^2-|x+1|+2a＜0的解集为空集，则a的取值范围

抛物线y=ax²-ax+1 是怎么来的？

Answer 1

关于x的不等式ax^2-|x+1|+2a＜0的解集为空集，
那么，不等式ax^2-|x+1|+2a≥0的解集不为空集、有解，

若x≥-1,|x+1|=x+1,
ax^2-x-1+2a≥0,
二次三项式ax^2-x-1+2a的两个解：
{1±√[1-4a(2a-1)]}/(2a),
不等式有解的前提是：1-4a(2a-1)≥0，
8a^2-4a-1≤0,
二次三项式8a^2-4a-1的两个解是：
[2±√(4+8)]/8=[1±√3]/4,
不等式的解是：（1-√3)/4≤a≤(1+√3)/4;
代入，再验证一下能不能满足 x≥-1的先期设定：
原不等式变为：
a{x-{1-√[1-4a(2a-1)]}/(2a)}{x-{1+√[1-4a(2a-1)]}/(2a)}≥0,

若（1-√3)/4≤a<0时，
{x-{1-√[1-4a(2a-1)]}/(2a)}{x-{1+√[1-4a(2a-1)]}/(2a)}≤0,
{x-(1-b)/(2a)}{x-(1+b)/(2a)}≤0,【b是一个正数或0】
(1+b)/(2a)≤x≤(1-b)/(2a), 【注意：a是负值】
与x≥-1的设定不矛盾。

若0≤a≤（1+√3)/4时，
{x-{1-√[1-4a(2a-1)]}/(2a)}{x-{1+√[1-4a(2a-1)]}/(2a)}≥0,
{x-(1-b)/(2a)}{x-(1+b)/(2a)}≥0,【b是一个正数或0】
x≤(1-b)/(2a),或 x≥(1+b)/(2a), 【注意：a是正值】
也与x≥-1的设定不矛盾。

若x<-1,|x+1|= -x-1,
ax^2+x+1+2a≥0,
二次三项式ax^2+x+1+2a的两个解：
{1±√[1-4a(2a+1)]}/(2a),
不等式有解的前提是：1-4a(2a+1)≥0，
8a^2+4a-1≤0,
二次三项式8a^2+4a-1的两个解是：
[-2±√(4+8)]/8=[-1±√3]/4,
不等式的解是：（-1-√3)/4≤a≤(-1+√3)/4;
代入，再验证一下能不能满足 x<-1的先期设定：
原不等式变为：
a{x-{1-√[1-4a(2a+1)]}/(2a)}{x-{1+√[1-4a(2a+1)]}/(2a)}≥0,

若（-1-√3)/4≤a<0时，
{x-{1-√[1-4a(2a+1)]}/(2a)}{x-{1+√[1-4a(2a+1)]}/(2a)}≤0,
{x-(1-b)/(2a)}{x-(1+b)/(2a)}≤0,【b是一个正数或0】
(1+b)/(2a)≤x≤(1-b)/(2a), 【注意：a是负值】
与x≥-1的设定不矛盾。

若0≤a≤（1+√3)/4时，
{x-{1-√[1-4a(2a+1)]}/(2a)}{x-{1+√[1-4a(2a+1)]}/(2a)}≥0,
{x-(1-b)/(2a)}{x-(1+b)/(2a)}≥0,【b是一个正数或0】
x≤(1-b)/(2a),或 x≥(1+b)/(2a), 【注意：a是正值】
也与x≥-1的设定不矛盾。

综合：
如果关于x的不等式ax^2-|x+1|+2a＜0的解集为空集，
则 不等式ax^2-|x+1|+2a≥0的解集不为空集、有解，
则a的取值范围应是：
（1-√3)/4≤a≤(1+√3)/4; 或
（-1-√3)/4≤a≤(-1+√3)/4.

Answer 2

(1)A为空集，则若a=0，-|x+1|<0,解得x不等于-1.所以a=0不成立

(2)若a不等于0，则抛物线y=ax^2-|x+1|+2a开口向上，且y(0)>=0
有：a>0,且-1+2a>=0;

解得a>1/2

综上a>1/2

Answer 3

关于x的不等式ax^2-|x+1|+2a＜0的解集为空集，
那么，不等式ax^2-|x+1|+2a≥0的解集不为空集、有解，

若x≥-1,|x+1|=x+1,
ax^2-x-1+2a≥0,
二次三项式ax^2-x-1+2a的两个解：
{1±√[1-4a(2a-1)]}/(2a),
不等式有解的前提是：1-4a(2a-1)≥0，
8a^2-4a-1≤0,
二次三项式8a^2-4a-1的两个解是：
[2±√(4+8)]/8=[1±√3]/4,
不等式的解是：（1-√3)/4≤a≤(1+√3)/4;
代入，再验证一下能不能满足 x≥-1的先期设定：
原不等式变为：
a{x-{1-√[1-4a(2a-1)]}/(2a)}{x-{1+√[1-4a(2a-1)]}/(2a)}≥0,

若（1-√3)/4≤a<0时，
{x-{1-√[1-4a(2a-1)]}/(2a)}{x-{1+√[1-4a(2a-1)]}/(2a)}≤0,
{x-(1-b)/(2a)}{x-(1+b)/(2a)}≤0,【b是一个正数或0】
(1+b)/(2a)≤x≤(1-b)/(2a), 【注意：a是负值】
与x≥-1的设定不矛盾。

若0≤a≤（1+√3)/4时，
{x-{1-√[1-4a(2a-1)]}/(2a)}{x-{1+√[1-4a(2a-1)]}/(2a)}≥0,
{x-(1-b)/(2a)}{x-(1+b)/(2a)}≥0,【b是一个正数或0】
x≤(1-b)/(2a),或 x≥(1+b)/(2a), 【注意：a是正值】
也与x≥-1的设定不矛盾。

若x<-1,|x+1|= -x-1,
ax^2+x+1+2a≥0,
二次三项式ax^2+x+1+2a的两个解：
{1±√[1-4a(2a+1)]}/(2a),
不等式有解的前提是：1-4a(2a+1)≥0，
8a^2+4a-1≤0,
二次三项式8a^2+4a-1的两个解是：
[-2±√(4+8)]/8=[-1±√3]/4,
不等式的解是：（-1-√3)/4≤a≤(-1+√3)/4;
代入，再验证一下能不能满足 x<-1的先期设定：
原不等式变为：
a{x-{1-√[1-4a(2a+1)]}/(2a)}{x-{1+√[1-4a(2a+1)]}/(2a)}≥0,

若（-1-√3)/4≤a<0时，
{x-{1-√[1-4a(2a+1)]}/(2a)}{x-{1+√[1-4a(2a+1)]}/(2a)}≤0,
{x-(1-b)/(2a)}{x-(1+b)/(2a)}≤0,【b是一个正数或0】
(1+b)/(2a)≤x≤(1-b)/(2a), 【注意：a是负值】
与x≥-1的设定不矛盾。

若0≤a≤（1+√3)/4时，
{x-{1-√[1-4a(2a+1)]}/(2a)}{x-{1+√[1-4a(2a+1)]}/(2a)}≥0,
{x-(1-b)/(2a)}{x-(1+b)/(2a)}≥0,【b是一个正数或0】
x≤(1-b)/(2a),或 x≥(1+b)/(2a), 【注意：a是正值】
也与x≥-1的设定不矛盾。

综合：
如果关于x的不等式ax^2-|x+1|+2a＜0的解集为空集，
则 不等式ax^2-|x+1|+2a≥0的解集不为空集、有解，
则a的取值范围应是：
（1-√3)/4≤a≤(1+√3)/4; 或
（-1-√3)/4≤a≤(-1+√3)/4.