Question

求函数、多元函数微积分

设（x,y,z)=xy^2·z^3,且z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2-3xyz=0确定，求ef/ex,x=y=z=1
解：ef/ex=y^2·z^3+xy^2·3z^2·ez/ex 为什么最后要乘ez/ex
设F（x,y,z)=x^2+y^2+z^2-3xyz=0
eF/ex=2x-3yz
eF/ez=2z-3xy
ez/ex=-(2x-3yz)/2y-3xy
ef/ex=-2

Answer 1

解答:

f(x,y,z) = xy²z³
∂f/∂x = y²z³ + 2xyz³ + 3xyz²∂z/∂x

这里的f是x、y、z 的函数，而z又是x、y的隐函数。
∂f/∂x是函数f对x求偏导，由于z是x、y的隐函数，对x求偏导时，要先对z偏导，
然后对隐函数用复合函数求导法继续偏导,这种方法也叫“链式求导”。

因为 x² + y² + z² - 3xyz = 0
所以，方程两边对x求偏导得：
2x + 2z∂z/∂x - 3yz - 3xy∂z/∂x = 0,
∂z/∂x = (2x - 3yz)/(3xy - 2z)

将上式代入∂f/∂x得到：
∂f/∂x = y²z³ + 2xyz³ + 3xyz²(2x - 3yz)/(3xy - 2z)

楼主的倒数第四步的偏导遗漏了z对x偏导。

Answer 2

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