Question

已知圆C：(x-3)^2+(y-4)^2=4,直线L1过定点A（1，0）。

若L1与圆相交于PQ两点，线段PQ的中点为M，L1与L2：x+2y+2=0的交点为N，求证AM*AN为定值

Answer 1

设L1斜率为k，则方程为 y=k(x-1).
联立圆C和L1方程，整理，(1+k^2)x^2-[2k(k+4)+6]x+(k+4)^2+5=0.
P(x1,y1),Q(x2,y2).
=>M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)或M((x1+x2)/2,k(x1+x2)/2-k).
韦达定理，
x1+x2=[2k(k+4)+6]/(1+k^2), x1x2=[(k+4)^2+5]/(1+k^2). ---(1)

联立L1与L2得 N(2(k-1)/(2k+1),-3k/(2k+1))，
验算(AM*AN)^2与k无关即可。
AM^2=[(x1+x2)/2-1]^2+[k(x1+x2)/2-k]^2,
AN^2=[2(k-1)/(2k+1)-1]^2+[-3k/(2k+1)]^2, ----(2)
由(1)(2)可得，(AM*AN)^2=9. 得证

Answer 2

设直线L1方程为y=k(x-1)
(1)
与L2:
x+2y+2=0的交点为
N（（2k-2）/（2k+1），-3k/（2k+1））
AN^2=(x-1)^2+y^2=(9+9k^2)/（2k+1）^2
=9(k^2+1)^2/（2k+1）^2
CM与直线L1方程为y=k(x-1)为
M((k^2+4k+3)/(k^2+1),
(4k^2+2k)/(k^2+1))
AM^2==(x-1)^2+y^2
=(4k+2)^2/(k^2+1)^2+(4k^2+2k)^2/(k^2+1)^2
==(4k+2)^2(1+k^2)/(k^2+1)^2
(AN*AM)^==9(1+k^2)/（2k+1）^2×(4k+2)^2×(1+k^2)/(k^2+1)^2
=9×4=36
∴AM*AN为定值
6
这题做得好辛苦呀