Question

已知函数f（x）=(sinx+cosx+tanx)/cosx，x属于[-1,1]的最大值为M，最小值为m则M+m=

已知函数f（x）=(sinx+cosx+tanx)/cosx，x属于[-1,1]的最大值为M，最小值为m则M+m=
为什么是偶函数

Answer 1

谢谢楼上提醒！我心里想的是奇函数，只有这样在[-1,1]的对称区间内，最大值与最小值的和为0。（全打成偶函数了，真汗......）
f（x）=(sinx+cosx+tanx)/cosx=tanx+1+sinx/cos²x
将f(x)向下平移一个单位得g(x),则g(x)=tanx+sinx/cos²x
因为g(x)是由f(x)平移而来，所以g(x)max=M-1;g(x)min=m-1
易得g(x)是奇函数，则在[-1,1]的对称区间内，最大值与最小值的和为0
即g(x)max+g(x)min=0
所以M+m=2

证明g(x)是奇函数的过程如下：
g(-x)=tan(-x)+sin(-x)/cos²(-x)
由三角函数的变换可知
tanx=-tan(-x),sinx=-sin(-x),cosx=cos(-x)
又因为cos²x= cos²(-x)
所以g(-x)=-tanx-sinx/cos²x =-g(x)
∴g(x)是奇函数

这种做法写出来不见得有多简单，但实质是利用奇偶函数的图像的性质，更为简便，做选择填空题更方便些，可以避免求导。

Answer 2

f（x）=tanx+ tanx secx+1,
f’（x）=(secx)^2+(secx)^3-secx(tanx)^2=secx[secx+1]=(1+cosx)/(cosx)^2
∵x∈[-1,1],∴f’(x)>0,函数f(x)单调增
∴M+m=f(1)+f(-1)=sin1/cos1+sin1/(cos1) ^2+1+ sin(-1)/cos(-1)+sin(-1)/(cos(-1) ^2+1=2

一楼结果正确，过程错，函数f(x)图象在不同区域是不一样，其补充中也有原则错误，非常明显，正弦为奇函数，余弦为偶函数，到他那变了。