高一数学难题

边长为a的正三角形A,B,C的中心为O,过O任意作直线交AB,AC于M,N;求OM的平方分之1+ON的平方分之1的最大值与最小值.... 边长为a的正三角形A,B,C的中心为O,过O任意作直线交AB,AC于M,N;求OM的平方分之1+ON的平方分之1的最大值与最小值. 展开
thuwwjbuoy03
2010-08-03 · TA获得超过9539个赞
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以O为坐标原点,OA为y轴,过O点且平行于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系,如上图,
应为AB=a,由三角形关系得,A(0, √3a/3),
B(-a/2,- √3 a/6),C(a/2,-√3a/6)
直线AB方程:y=√3x+√3a/3,
直线AC方程:y=-√3x+√3a/3,
设直线l的方程为:y=kx
l与AB、AC有交点,
则k的范围是-√3 a/6到√3 a/6,
连立方程,解出M、N的坐标(过程略),
解得,M(√3 a/【3*(k-√3)】,√3 ak/【3*(k-√3)】),
N(√3 a/【3*(k+√3)】,√3 ak/【3*(k+√3)】)。
1/OM^2+1/ON^2={3*【(k+√3)^2】}/【a^2*(1+k^2)】+
{3*【(k-√3)^2】}/【a^2*(1+k^2)】
=【6*(k^2+3)】/【a^2*(1+k^2)】=(6/a^2)*【2/(1+k^2)+1】,
k应为 -√3 a/6到√3 a/6,所以1/OM^2+1/ON^2的范围就求出来了(结果自己算一下)!
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