Question

问一道初二几何证明题，求解答

如图，AM,CM分别评分∠BAD和∠BCD,
（1）若∠B=31°，∠D=38°，求∠M大小
（2）∠B=m°，∠D=n°，证明：∠M=1/2(∠B+∠D)
要详细步骤，谢谢了

Answer 1

(1).解:因为AM,CM分别平分∠BAD和∠BCD,
所以∠BAM=∠DAM,∠DCM=∠BCM
设AM,BC相交于点E,AD,CM相交于点F
所以在三角形AFM和三角形CEM中
∠MAD+∠M+∠AFM+∠BCM+∠M+∠CEM=180+180=360°
因为在三角形ABE和三角形CDF中
∠B+∠BAM+∠AEB=180°,
∠D+∠DCM+∠CFD=180°
所以31°+∠BAM+∠AEB=180°,
38°+∠DCM+∠CFD=180°
所以∠BAM+∠AEB=149°,
∠DCM+∠CFD=142°
又因为∠AFM=∠CFD,∠CEM=∠AEB,∠BAM=∠DAM,∠DCM=∠BCM
所以∠AFM+∠BCM=142°,∠DAM+∠CEM=149°
又因为∠MAD+∠M+∠AFM+∠BCM+∠M+∠CEM=180+180=360°
所以∠AFM+∠BCM+∠DAM+∠CEM+2∠M=360°
所以142°+149°+2∠M=360°
所以2∠M=69°
所以∠M=34.5°

(2).证明: 因为AM,CM分别平分∠BAD和∠BCD,
所以∠BAM=∠DAM,∠DCM=∠BCM
设AM,BC相交于点E,AD,CM相交于点F
所以在三角形AFM和三角形CEM中
∠MAD+∠M+∠AFM+∠BCM+∠M+∠CEM=180+180=360°
因为在三角形ABE和三角形CDF中
∠B+∠BAM+∠AEB=180°,
∠D+∠DCM+∠CFD=180°
所以m°+∠BAM+∠AEB=180°,
n°+∠DCM+∠CFD=180°
所以∠BAM+∠AEB=180°-m°,
∠DCM+∠CFD=180°-n°
又因为∠AFM=∠CFD,∠CEM=∠AEB,∠BAM=∠DAM,∠DCM=∠BCM
所以∠AFM+∠BCM=180°-n°,∠DAM+∠CEM=180°-m°
又因为∠MAD+∠M+∠AFM+∠BCM+∠M+∠CEM=180+180=360°
所以∠AFM+∠BCM+∠DAM+∠CEM+2∠M=360°
所以(180°-m°)+(180°-n°)+2∠M=360°
所以360°-∠B-∠D+2∠M=360°
所以2∠M-∠B-∠D=0
所以2∠M=∠B+∠D
所以∠M=1/2(∠B+∠D)

Answer 2

(1)34.5
（2）有∠M+∠MAD=∠D+∠DCM;
∠B+∠BAM=∠M+∠BCM;
∠MAD=∠BAM；
∠DCM=∠BCM。
头两式相减得
∠M-∠B=∠D-∠M故得：∠M=1/2(∠B+∠D)