Question

一道奥数题，高手帮忙

在三角形ABC中，角A=75度，角B=35度，D是边BC上一点，BD=2CD。求证：AD的平方=（AC+BD)×（AC-CD）。

Answer 1

用分析法
先化简原式
得
AD^2=AC^2-2CD^2+AC*CD
而画图之后可用余弦定理得
AD^2=AC^2+CD^2-2AC*CD*cosC
=AC^2+CD^2-2AC*CD*cos70
代回原式应该有得
AC^2+CD^2-2AC*CD*cos70=AC^2-2CD^2+AC*CD
则
有
CD*(3CD-2AC*cos70-AC)=0
所以若要证明原式成立则须证上面这个式子成立
现在用正弦定理把CD换掉
因为
BC/sinA=AC/sinB
所以有
3CD/sinA=AC/sinB
所以
3CD=AC*(sinA)/(sinB)
代回原式
得
AC*CD*[(sinA)/(sinB)-2*cos70-1]
而
A=75
B=35
代入上式
得(sinA)/(sinB)-2*cos70-1=0
所以
AC*CD*[(sinA)/(sinB)-2*cos70-1]=0
即
CD*(3CD-2AC*cos70-AC)=0成立
所以

AD^2=AC^2-2CD^2+AC*CD
成立

则（AC-CD）（AC+BD）=AD^2成立得证....