Question

一道奥数题，高手帮忙

AC是平行四边形ABCD较长的对角线，作CF垂直于AD交AD延长线于点F，作CE垂直于AB交AB延长线于点E。求证：AB×AE+AD×AF＝AC的平方。

Answer 1

先做出图形
解：∵CF⊥AF ∴∠AFC=90°=∠FCB ∵CE⊥AE ∴∠AEC=∠DCE ∴∠FCD=∠BCE
从而得出：△FDC∽△EBC ∴DF：BE=CD:CB ∴DF*CB=BE*CD 因为CD=AB CB=AD ∴DF*AD=AB*BE
原式AB*AE+AD*AF=AB*（AB+BE）+AD*（AD+DF）=AB²+AB*BE+AD²+AD*DF （在这里AD²=BC² 所以AD²=CE²+BE² 且前面提到 DF*AD=AB*BE） ∴AB²+AB*BE+CE²+BE²+AB*BE=AB²+2AB*BE+BE²+CE²=（AB+BE）²+CE²=AE²+CE²
很明显了 答案出来了~~

Answer 2

闲得没事看会了…就是没赏分，要写好多…手机只能写个思路，CE~=AE*BE CF~=AF.DF剩下的自己努力哦！初中的吧？