Question

请教一道初二数学竞赛题(几何题)

在正方形ABCD中,E、F分别在AB、BC上，且AE+CF=EF，DG⊥EF，求证：DG=DA。
各位大哥大姐教一下，谢了
希望在星期日前可以解答出来 多谢!

Answer 1

2楼做的麻烦死了，又是方程组又是辅助线还外加勾古定理！
告诉你一个十分简单的方法，两次全等就可以完全D搞定。
先连DE DF把三角形DAE逆时针旋转90度，使AD与DC重合（图应该差不多），E点制H点，如果你画的方向和我化的方向相反，则顺时针旋转。
这样三角形DCH全等于三角形ADE，于是DE=DH，AE=CH，所以HF=CF+CH=CF+AE=EF，又DF=DF 所以用SSS可证明三角形DEF全等于三角形DFH，
因为全等三角形的对应高相等（不知道也可以用面积和底边及面积法推出）
所以DG=DC 所以DG=DC=DA。

Answer 2

图呢

Answer 3

设正方形边长为a,AE=x,CF=y,则EB=a-x,BF=a-y,EF=x+y (题目要求证明DG=a)
对三角形EFB运用勾谷定理，得到：(a-x)^2+(a-y)^2=(x+y)^2
上式化简即得：a^2-xy=a(x+y) (1)
又，DG为三角形DEF以EF为底边的高，故DG=2倍DEF的面积/EF
DEF的面积为正方形面积减去三角形AED,BEF,DEF
即：DEF的面积=a^2-(a*y/2)-(a*x)/2-(a-x)(a-y)/2 (2)
又 DEF的面积=DG*EF/2=DG*(x+y)/2 (3)
联合(2)(3)两式即得：
DG=2(a^2-(a*y/2)-(a*x)/2-(a-x)(a-y)/2)/(x+y)
=(a^2-xy)/xy
在结合(1)式即知: DG=a
即 DG=DA