Question

函数奇偶性问题

已知F(X)是定义在R上的函数,f(1)=1,且任意X1,X2,总有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1恒成立，求证：函数f(x)+1是奇函数

Answer 1

证明：当X1=1,X2=0时，有f(1+0)=f(1)+f(0)+1即f(0)=-1
令X1为x，X2为-x
则有f(x+(-x))=f(x)+f(-x)+1
f(0)=f(x)+f(-x)+1
f(x)+f(-x)+2=0
即-（f(x)+1)=f(-x)+1
令u(x)=f(x)+1
则u(-x)=f(-x)+1
得到-u(x)=u(-x)
所以u(x)为奇函数，即函数f(x)+1是奇函数