Question

高中解析几何

过T(-1,0)作直线与Y^2=4X交于A.B两点,若在X轴上存在一点E(X1,0),使△ABE为等边三角形,求X1的值
要解题思路和步骤

Answer 1

思路很简单的，解题过程计算量有点大
解题思路如下：
设A（x2，y2），B（x3，y3）
过T（-1,0）的直线方程为：y=k（x+1）；
y=k（x+1）与y^2=4x交于AB两点，即（k（x+1））^2=4x,
k^2 x^2+(2k^2-4)x+k^2=0
根据韦达定理可得到
x2+x3=-（(2k^2-4)）/k^2
x2x3=k^2/k^2=1
y2+y3=k（x2+1）+k（x3+1）=k(x2+x3+2)=4/k
y2y3=k（x2+1）k（x3+1）=k^2(x2x3+x2+x3+1)=4
x2-x3=√((x2+x3)^2-4x2x3)=√((4-2k^2)^2/k^4-4)
y2-y3=√((y2+y3)^2-4y2y3)=√(16/k^2-16)
因为三角形ABE为等边三角形，所以
|AB|=|AE|=|BE|
(将以上式子代入以下式子，得到关于x1,k的方程)
两点距离公式有：
|AB|=√((x2-x3)^2+(y2-y3)^2)=
|AE|=√（(x2-x1)^2+y2^2）=
|BE|=√（(x3-x1)^2+y3^2）=
消去k即可解得x1的值