Question

数学题 空间几何

1、某几何体的一条棱长为根号7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的根号6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为多少？
答案是4啊..

Answer 1

几何体棱长为长方体体对角线√7，三个面对角线分别√6，a，b。
设三边为x,y,z
x^2+y^2+z^2=7
x^2+y^7=6
所以z=1
a+b为√(x^2+1)+√(y^2+1)取最值，而且满足x^2+y^7=6
根据不等式(a+b)^2<=2(a^2+b^2)
故[√(x^2+1)+√(y^2+1)]^2<=2*(x^2+y^2+2)=16
开个根号就是4了

Answer 2

相当于长方体最长对角线为√7，每个面的对角线分别为√6，a,b.化简a^2+b^2=1. a+b最大2

Answer 3

以棱的一个顶点为坐标原点建立三维坐标系0-xyz,则另另一个端点的坐标为（x,y,z）
由题意知，x^2+y^2+z^2=7
x^2+y^2=6
故，z^2=1
（a+b)^2=√(x^2+1)+√(y^2+1)<=2*(x^2+y^2+2)=16
所以，a+b=4

Answer 4

把问题放到直角坐标系中考虑
棱的端点设为坐标原点
另一个端点设为（x，y，z）；
则问题转化为 x^2+y^2+z^2=7
x^2+z^2=6
求根号下y^2+z^2加根号下x^2+y^2的最大值的问题
y=1
变为根号下1+z^2加根号下7-z^2的最大值的问题
两边平方
求二次函数的最小值
最后结果为4