Question

两角差的余弦公式的推导过程

Answer 1

在直角坐标系xoy中，作单位圆O，并作角α，β，-β，使角α的始边为Ox交⊙O于P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角-β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.依三角函数的定义，得P1、P2、P3、P4的坐标分别为P1（1，0），P2（cosα,sinα）、P3（cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).连接P1P3，P2P4. 

则∣P1P3∣=∣P2P4∣.依两点间距离公式，得

∣P1P3|2=〔cos(α+β)-1〕2+〔sin(α+β)-0〕2,

∣P2P4|2=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2

∴〔cos(α+β)-1〕2+sin2(α+β)=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2

展开整理，得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)

∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ……Cα+β.该公式对任意角α，β均成立

在公式Cα+β中，用-β替代β.

cos(α-β)=cos〔α+(-β)〕=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ……Cα-β.该公式对任意角α，β均成立.

Answer 2

向量法：

取直角坐标系，作单位圆
取一点A，连接OA，与X轴的夹角为A
取一点B，连接OB，与X轴的夹角为B
OA与OB的夹角即为A-B
A（cosA,sinA),B(cosB,sinB)
OA=(cosA,sinA)
OB=(cosB,sinB)
OA*OB
=|OA||OB|cos(A-B)
=cosAcosB+sinAsinB
|OA|=|OB|=1
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB