Question

求证：（1+sinx-cosx）/(1+sinx+cosx)=tan(x/2)

谢谢了.

Answer 1

记s=sin（x/2） c=cos(x/2)
则sinx=2sin（x/2）cos(x/2)=2sc
cos(x)=2cos(x/2)cos(x/2)-1=2cc-1

要证（1+sinx-cosx）/(1+sinx+cosx)=tan(x/2)
只需证（1+2sc-2cc+1）/(1+2sc+2cc-1)=s/c
（2sc-2cc+1+1）/(1+2sc+2cc-1)
=【2（sc+ss）】【2（sc+cc）】=s/c
即当分母不为零，得证

情况二
分母为零，
由tan的定义域，x≠180+ 2k*180
由化一公式即sin（x+45）=-（根号2/2），
x=-90+ k*360 或x=-180+ k*360 （后面的x不在定义域，舍去） （k为整数）
所以当x=-90+ k*360 ，以上命题为否命题，即错误

Answer 2

证明：
(1+sinx-cosx)/(1+sinx+cosx)
= [(1-cosx)+sinx]/[(1+cosx)+sinx]
= {2*[sin(x/2)]^2+2sin(x/2)cos(x/2)}/{2*[cos(x/2)]^2+2sin(x/2)cos(x/2)}
= sin(x/2)/cos(x/2)
= tan(x/2)