高一数学题(三角函数)
江岸边有一炮台高30米,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45度和30度.而且两条船与炮台底部连线成30度角,则两条船相距多少米?...
江岸边有一炮台高30米,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45度和30度.而且两条船与炮台底部连线成30度角,则两条船相距多少米?
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设船A 船B相距AB=X米 由题意知，炮台高OC=30M（C为顶端 O为低端） ∠ACO=45°（俯角概念）∠BCO=60°（俯角概念）
两条船与炮台底部连线成30º等价为 AO与BO夹角为30°
∵CO⊥AO ∠ACO=45° ∴tan45°=AO÷BO ∴AO=tan45°×BO=1×30=30M
同理 tan60°=BO÷CO ∴ BO=tan60°×CO=根号3×30=30√3米
又∵ ∠AOC=30° ∴由余弦定理得 AB²=AO²+BO²-2×AO×BO×COS∠AOB
即 AB²=30²+（30√3）²-2×30×30√3×(√3÷2）
AB²=900+2700-2700=900
∴两船相距 X=AB=30米
两条船与炮台底部连线成30º等价为 AO与BO夹角为30°
∵CO⊥AO ∠ACO=45° ∴tan45°=AO÷BO ∴AO=tan45°×BO=1×30=30M
同理 tan60°=BO÷CO ∴ BO=tan60°×CO=根号3×30=30√3米
又∵ ∠AOC=30° ∴由余弦定理得 AB²=AO²+BO²-2×AO×BO×COS∠AOB
即 AB²=30²+（30√3）²-2×30×30√3×(√3÷2）
AB²=900+2700-2700=900
∴两船相距 X=AB=30米
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