Question

问一道高一数学三角函数题目

已知tan(β/2)=0.5.sin(α+β）=5/13，且α属于（0，π），β属于（0，2π）
（1）求sinβ，cosβ。
（2）求sinα

麻烦给出一些过程
谢谢了~

Answer 1

(1)
sinβ=2*tan(β/2)/[1+(tan(β/2)^2 ]
=(2*1/2)/(1+1/4)
= 1/(1+1/4)
=4/5

cosβ=[1-(tan(b/2))^2]/[1+(tan(b/2))^2]
=[1-1/4]/[1+1/4]
=3/5

(2) 由于 sinβ>0, cosβ>0，
可知β属于(0,π/2)，
由题意α属于(0,π),所以α+β属于(0,3π/2)，
但是由于sin(α+β)=5/13>0，
所以α+β属于(0,π),
如果α+β属于(0,π/2),
那么 π/2>α+β>α>0，
应该有sin(α+β)=5/13 > sinα=4/5，
但这是不成立的，故α+β属于(π/2, π),

因此cos(α+β)=-√(1-(5/13)^2)=-12/13。
所以sinα=sin[(α+β)-β]
=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ
=5/13 * 3/5 -(-12/13)* 4/5
= 63/65。

Answer 2

设tan(A/2)=t
sinA=2t/(1+t^2)
cosA=(1-t^2)/(1+t^2)
所以sinβ=3/5，cosβ=4/5
sin(α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
{sinα^2+cos^2=1
就可以算出sinα了……