Question

问一解析几何

以椭圆x^2/a^2+y^2=1(a>1)的短轴一个端点B(0,1)为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形.这样的三角行最多能做几个?

PS:提示下..要讨论的..望写出详细过程或思路非常感谢!!!

Answer 1

设直线AB:y=kx+1 (k不等于0)，
则直线CD:y=-1/k+1
上述两直线分别与椭圆方程联立，
可得x(A)=-(2(a^2)k)/(1+(a^2)(k^2)) ，
x(C)=(2(a^2)k)/((a^2)+(k^2))
所以abs(AB)=((2(a^2)k)/(1+(a^2)(k^2)))*sqrt(1+k^2) ，
abs(BC)=((2(a^2))/((a^2)+(k^2)))*sqrt(1+k^2) ，
令 abs(AB)=abs(BC)，
得到一个关于k的方程(k-1)((k^2)-((a^2)-1)k+1)=0 .k=1，或((k^2)-((a^2)-1)k+1)=0 ，
Δ=((a^2)-1)-4 (a>1) .
令Δ>0得a>sqrt(3)；
令Δ=0得a=sqrt(3)；
令Δ<0得1<a<sqrt(3)；
所以当1<a<sqrt(3)时，方程只有一个解，即满足条件的等腰直角三角形只有一个；
当a=sqrt(3)时，方程有两个解，即满足条件的等腰直角三角形有两个；
当1<a<sqrt(3)时；方程有三个不同的解，即满足条件的等腰直角三角形有三个；
解答完毕