Question

一元二次方程问题

已知一元二次方程ax²+bx+c=0(abc不等于0).（1）若两实数根之比为3:4，求证12b²=49ac（2）若已知4b²=25ac，求两根的比值

Answer 1

1.
假设有一根是x1，则另一根是3/4*x1
x1+x2=7/4*x1=-b/a=>x1=-4b/(7a)
=>x1x2=3/4*x^2
=3/4*16b^2/(49*a^2)
=12b^2/49a^2=c/a
=>12b^2=49ac

2.
设x2=k*x1
x1+x2=(1+k)*x1=-b/a=>x1=-b/a(k+1),x2=-bk/a(k+1)
x1*x2=kx1^2=k*（-b/a(k+1)）^2=c/a
=>kb^2=ac(k+1)^2
=>4b^2*k*25=25ac*4*(k+1)^2
=>25k=4*(k+1)^2
=>4k^2-17k+4
=>(4k-1)(k-4)=0
=> k=1/4或4
因此两根的比值是1:4或4：1

Answer 2

第一问
因为两根比为3：4，所以设x1=3m,x2=4m
所以原方程可化为(x-x1)(x-x2)=0
即x^2-7mx+12m^2=0
因为二次项系数是a，所以乘a，得到
ax^2-7amx+12am^2=0
对应得到b=-7am
c=12am^2
则要求证明的等式可以简单计算后得到

第二问。。
2L对的。。。我有个公式
tb^2=(t+1)^2*ac
t是两根的比值，无论是大于1的还是小于1的都成立。
所以。。。t1=4自然t2=
1/4
设x2=k*x1
x1+x2=(1+k)*x1=-b/a=>x1=-b/a(k+1),x2=-bk/a(k+1)
x1*x2=kx1^2=k*（-b/a(k+1)）^2=c/a
kb^2=ac(k+1)^2
4b^2*k*25=25ac*4*(k+1)^2
25k=4*(k+1)^2
4k^2-17k+4
（4k-1)(k-4)=0
k=1/4或4 真正要算的话就这样的

Answer 3

1.证：方程两根是：（b+√b²-4ac)/4ac和（b-√b²-4ac)/4ac
（b+√b²-4ac)/4ac ：（b-√b²-4ac)/4ac=3:4
（b+√b²-4ac)：（b-√b²-4ac)=3:4
4（b+√b²-4ac）=3（b-√b²-4ac)
化简：b+4√b²-4ac=-3√b²-4ac
b=-7√b²-4ac
b²=49b²-196ac
12b²=49ac
2.设x2=k*x1
x1+x2=(1+k)*x1=-b/a=>x1=-b/a(k+1),x2=-bk/a(k+1)
x1*x2=kx1^2=k*（-b/a(k+1)）^2=c/a
kb^2=ac(k+1)^2
4b^2*k*25=25ac*4*(k+1)^2
25k=4*(k+1)^2
4k^2-17k+4
（4k-1)(k-4)=0
k=1/4或4
因此两根的比值是1:4或4：1