平面几何暴难题
如图∠BAC=60°OIH分别是△ABC的外心内心垂心OI⊥AM过M作MN‖ABMN与⊙O交于N求证：ON⊥AI我已经证明了AO=AHAI⊥OHBOIHC五点共圆等结论希...
如图
∠BAC=60°
O I H分别是△ABC的外心 内心 垂心
OI⊥AM
过M作MN‖AB MN与⊙O交于N
求证：ON⊥AI
我已经证明了AO=AH
AI⊥OH
B O I H C五点共圆等结论
希望高手可以给出最后的证明
谢谢大家 展开
∠BAC=60°
O I H分别是△ABC的外心 内心 垂心
OI⊥AM
过M作MN‖AB MN与⊙O交于N
求证：ON⊥AI
我已经证明了AO=AH
AI⊥OH
B O I H C五点共圆等结论
希望高手可以给出最后的证明
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3个回答
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我想你要证明的是AI‖ON吧.
延长NO交AB于K，我们来证明角OKB=30度=角BAI，所以AI‖ON。
证明如下。
由于O,I,B,C四点共圆
所以角OAM=90度-交AOI=90度-(1/2角C+2角OAB)=90度-(1/2角C+(180度-2角C)=3/2角C-90度,
从而得到,角CAM=角OAC-角OAM=(90°-∠B）-(3/2∠C-90°)=180°-∠B-3/2∠C
(由于MN‖AB,得到∠BON=2∠CAM)
所以∠OKB=∠BON-∠ABO=2∠CAM+∠C-90°=(360°-2∠B-3∠C)+∠C-90°=30°。
从而证明了原命题。
延长NO交AB于K，我们来证明角OKB=30度=角BAI，所以AI‖ON。
证明如下。
由于O,I,B,C四点共圆
所以角OAM=90度-交AOI=90度-(1/2角C+2角OAB)=90度-(1/2角C+(180度-2角C)=3/2角C-90度,
从而得到,角CAM=角OAC-角OAM=(90°-∠B）-(3/2∠C-90°)=180°-∠B-3/2∠C
(由于MN‖AB,得到∠BON=2∠CAM)
所以∠OKB=∠BON-∠ABO=2∠CAM+∠C-90°=(360°-2∠B-3∠C)+∠C-90°=30°。
从而证明了原命题。
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BJ华夏艺匠
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楼主你在看看题目有没有打错，求证ON⊥AI，你看图上明显不可能
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等我研究一下
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