Question

平面几何暴难题

如图
∠BAC=60°
O I H分别是△ABC的外心 内心 垂心
OI⊥AM
过M作MN‖AB MN与⊙O交于N
求证：ON⊥AI

我已经证明了AO=AH
AI⊥OH
B O I H C五点共圆等结论
希望高手可以给出最后的证明
谢谢大家

Answer 1

我想你要证明的是AI‖ON吧.

延长NO交AB于K，我们来证明角OKB=30度=角BAI，所以AI‖ON。
证明如下。

由于O,I,B,C四点共圆
所以角OAM=90度-交AOI=90度-(1/2角C+2角OAB)=90度-(1/2角C+(180度-2角C)=3/2角C-90度,
从而得到,角CAM=角OAC-角OAM=(90°-∠B）-(3/2∠C-90°)=180°-∠B-3/2∠C

(由于MN‖AB,得到∠BON=2∠CAM)

所以∠OKB=∠BON-∠ABO=2∠CAM+∠C-90°=(360°-2∠B-3∠C)+∠C-90°=30°。

从而证明了原命题。

Answer 2

楼主你在看看题目有没有打错，求证ON⊥AI，你看图上明显不可能

Answer 3

等我研究一下