Question

求解函数数学题！

1.设a＞1，函数f(x)=logax在[a,2a]上的最大值和最小值的差为1/2，求a。
注：logax是指以a为底x的对数。

2.设a＞0，f(x)=e^x/a+a/e^x是R上的偶函数。
求a的值； 证明f(x)在（0，+∞）上是增函数。

要详细过程，谢谢了、

Answer 1

1、因为a＞1，函数f(x)=logax在[a,2a]是单调递增函数，
即最大值=f（2a）=loga（2a），最小值=f（a）=loga（a）；
则有 f（2a）-f（a）=loga（2a）-loga（a）=1/2；
根据对数函数基本性质：loga2+loga（a）-loga（a）=loga2=1/2，
a=4.
2、因f（x）是偶函数，f（-x）-f（x）=e^(-x)/a+a/e^(-x) -(e^x)/a-a/e^x=0；
化简得到 （e^x-1/e^x）(1/a-a)=0,
因为（e^x-1/e^x）不等于0，则(1/a-a)=0，推出a=1.
在（0，+∞）上取x1＞x2,
则f（x1）-f(x2)=e^x1+1/(e^x1)-e^x2-1/(e^x2)=(e^x1-e^x2)(1-1/e^(x1+x2))
因为 e^(x1+x2）＞1，所以f（x1）-f(x2)＞0，所以是增函

Answer 2

（1）对于对数函数f(x)=logax，当a>1时，f（x）在区间 [a,2a]上递增，
所以f（x）max＝f（2a），f（x）min＝f（a），
即f（2a）－f（a）＝1/2
loga(2a)-loga(a)=1/2
loga(2a/a)=loga2=1/2
得a＝4
（2）1.因为是偶函数。所以f(x)=f(-x),那么e^x/a+a/e^x=e^(-x)/a+a/e^(-x)=1/(ae^x)+ae^x,两边比较，得到1/a=a.所以a=1或a=-1
2.取X1，X2且0<X1<X2,则f(X2)-f(X1)=e^X2/a+a/e^X2-(e^X1/a+a/e^X1)=1/a(e^X2-e^X1)+a(1/e^X2-1/e^X1),因为0<X1<X2，所以e^X2-e^X1>0,1/e^X2-1/e^X1<0

Answer 3

1. a＞1 ，所以logax是增函数，所以 有 loga（2a）-loga（a）=1
也就是 loga2=1，所以a=2

2.f（-x）=e^(-x)/a+a/e^(-x) =(e^x)/a+a/e^x=f(x),
化简得到 1/（ae^x）+ae^x=a^2/(ae^x)+(ae^x)/a^2
又待定系数法 ，得到a^2=1 ,又a＞0,所以a=1，f(x)=e^x+1/(e^x).
在（0，+∞）上取x1＞x2,
则f（x1）-f(x2)=e^x1+1/(e^x1)-e^x2-1/(e^x2)=(e^x1-e^x2)(1-1/e^(x1+x2))
因为 e^(x1+x2）＞1，所以f（x1）-f(x2)＞0，所以是增函数