Question

高一数学题！！！！

是否存在锐角A和B，使得下列两式
(1)A+2B=2pai/3(2)正切A/2乘以正切B=(2-根号3)

Answer 1

有，α=π/6，β=π/4。
tan(α/2+β)=tan(π/3)=√3，
tan(α/2+β)=[tan(α/2)+tanβ]/[1-tan(α/2)tanβ](正切的和角公式）
而tan(α/2)tanβ=2-√3(已知）
得tan(α/2+β)=3-√3
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）可知：
tan(α/2）和tanβ是一元二次方程X^2-(3-√3)x+2-√3=0的二根，解此方程得解：X1=2-√3，X2=1，
对应tan(α/2)=2-√3，α/2=π/12，α=π/6；
对应tanβ=1，β=π/4。（注意：tan(α/2）≠1，否则变直角）。