Question

设函数f(x)=x-[ln(1+x)]/(1+x)

设函数f(x)=x-[ln(1+x)]/(1+x),
1，令N(x)=(1+x)^2-1+ln(1+x),判断并证明N(x）在（-1，+∞）上的单调性，并求N(0）；
2，求函数f(x)在定义域上的最小值；
3，是否存在实数M，N满足0≤M＜N，使f(x)在区间[M，N]上值遇也为[M，N]。

Answer 1

我来完善一下，一二三楼答的太乱了。设t=1+x.
1，原函数N'(x)=2(1+x)+1/(1+x)≥2√2, 函数定义域有对数函数性质得：（-1，+&）
因为：y=t^2在（0，+&）为单调递增，且y=lnt在（0，+&）单调递增，所以原函数在（-1，+&）单调递增,N(0)=0.

2,f'(x)=1-1/(1+x)^2+ln(1+x)/(1+x)^2
令f'(x)=1-1/(1+x)^2+ln(1+x)/(1+x)^2=0
解得（x+1)^2=1-ln(1+x)
令1+x=t变形得:t^2-1=-lnt
画图形可以得到只有一解t=1(你应该会画),所以x=0
当x>0,f'(x)>0
f(x)在（-1,0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增；
最小值在0处取得为0.

3,根据f(x)的单调性
f（M）=M，f（N)=N.-[ln(1+x)]/(1+x)=0.
x仅有一解，所以不存在实数M，N满足0≤M＜N，使f(x)在区间[M，N]上值遇也为[M，N]。

Answer 2

N'(x)=2(1+x)+1/(1+x)≥2√2
N(x）在（-1，+∞）上的单调递增。N(0)=0
f'(x)=1-1/(1+x)^2+ln(1+x)/(1+x)^2
令f'(x)=1-1/(1+x)^2+ln(1+x)/(1+x)^2=0
解得（x+1)^2=1-ln(1+x)
令1+x=t变形得
t^2-1=-lnt
画图形可以得到只有一解t=1
x=0
当x>0,f'(x)>0
f(x)在（-1,0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增；
最小值在0处取得为0
根据f(x)的单调性
f（M）=M，f（N)=N
-[ln(1+x)]/(1+x)=0
x仅有一解，所以不存在
实数M，N满足0≤M＜N，使f(x)在区间[M，N]上值遇也为[M，N]。

Answer 3

1、铝合金型材切割机用于门窗制作裁料，可将铝合金型材按需要的尺寸和角度裁取，常用截取角度为45，90。大型铝合金门窗的生产所用的切割机为大型锯床，切割铝合金型材时,剪板机行业的发展形势，型材可以平稳地放在锯床的工作台上，截取长度，角度都比较精确，锯口整齐,数控剪板机，切割速度快；而小型铝合金门窗加工点所用的切割机为小型无齿锯，切割精度远不及大型锯床。

2、冲床用于在型材上冲孔，可以冲方形、长方形及圆形的孔,液压板料折弯机。冲床是大型铝合金门窗生产厂所使用的设备，而小型加工点是用其他设备代替，其精度和效率远不及冲床。

3、仿行铣床主要用于型材上铣锁眼，仿行铣床可以按模板的形状铣孔，模板的形状可以是方形、圆形、椭圆、八字形等。具有智能铣孔的特点精度高，速度快,中瑞公司出口俄罗斯机床通过客户验收。仿行铣床设备造价比较高，小型加工点一般都不具备，一般用手摇开孔器代替。

4、组角机主要用于铝合金门窗型材拼角，具有精度高,WF67K系列数控液压板料折弯机，拼角美观的特点，一般是大型铝合金门窗厂用，而小型加工点一般为手工组角。冲床，四柱油压机，液压机，液压剪板机在中瑞
机床 数控折弯机 数控剪板机 折弯机剪板机

Answer 4

设-1大于x1大于x2 n x1-nx2 等于（1+x1)^2-1+ln(1+x1)-（1+x2)^2+1-ln(1+x2) （1+x1)^2-（1+x2)^2小于0 ln(1+x1）-ln(1+x2)也小于0 所以n x1小于nx2 所以N(x）在（-1，+∞）是增函数 n（0）带入=0
函数f(x)定义域是1+x大于0 1+x不等于0 那么x大于-1 用同样的方法挣出f x的
单调性 然后带入算出值

Answer 5

1.N（0）=1^2-1+ln1=0
函数定义域有对数函数性质得：（-1，+&）
因为：y=t^2在（0，+&）为单调递增，且y=lnt在（0，+&）单调递增，所以原函数在（-1，+&）单调递增。
2.f（x）求导：解得导数恒大于0。函数单调递增。
3.因为函数单调递增所以由题意得：F(M)=M,F(N)=N.解之即可，若无解则无此数M N
本答案为解题思路，仅供参考。希望对您有帮助。