Question

急求！我要解这道数学题。

已知点Q是圆C:(x-4)^2+y^2=9上的动点,A(-2,3)，且向量AP=1/2向量PQ
（1）求动点P的轨迹方程；
(2)若直线x-y+m=0与点P的轨迹相交于M、N两点，求向量OM*向量ON的最小值

Answer 1

(1) 设P(x,y)Q(xq,yq)
AP=(x+2,y-3)
PQ=(xq-x,yq-y)
AP=1/2PQ
x+2=1/2(xq-x)
y-3=1/2(yq-y)
xq=3x+4
yq=3y-6
Q 在圆C上
(3x+4-4)^2+(3y-6)^2=9
即x^2+(y-2)^2=1

(2)设P点圆轨迹的圆心为D(0,2),半径长为r
MN中点为E
OM*ON=(OE+EM)*(OE+EN)=OE^2+OE(EM+EN)+EM*EN=OE^2-EM^2
=OE^2-(r^2-DE^2)=OE^2+DE^2-1
设E(x1,y1)M(xm,ym)N(xn,yn)
x1=(xn+xm)/2
直线代人圆方程得
x^2+(x+m-2)^2=1
2x^2+2(m-2)x+(m-2)^2-1=0
x1=(xn+xm)/2=(2-m)/2
代人直线方程得y1=(m+2)/2
OM*ON=OE^2+DE^2-1=x1^2+y1^2+x1^2+(y1-2)^2-1
=1/4((m-2)^2+(m+2)^2+(m-2)^2+(m-2)^2)-1
=1/4(4m^2-8m+16)-1=m^2-2m+3=(m-1)^2+2>=2
等号当m=1是成立
m=1时，E 点坐标为（1/2,3/2）
（1/2)^2+(3/2-2)^2=1/2<1，故点E在圆内
即原式可以取到最小值
即OM*ON最小值是2