Question

方阵A满足A^2-2A-3E=0，证明A+2E可逆，并求其逆。

证明：由A^2-2A-3E=0，知(A+2E)(A-4E)=-5E，故A+2E可逆，且(A+2E)^-1=1/5(4E-A). 为什么要凑成这样“(A+2E)(A-4E)=-5E，故A+2E可逆，”做。怎么样就证明了A+2E可逆。

Answer 1

因为 (A+2E)(A-4E)=-5E

右边是可逆矩阵，而且可以写成左边的两个矩阵的乘积，所以根据矩阵乘积的rank（秩）小于等于各乘数矩阵rank的最小值这一原理，左边的两个矩阵都是满秩的，即都是可逆的，故A+2E可逆，且(A+2E)^-1=1/5(4E-A).

Answer 2

可逆矩阵的行列式不等于0
原式两边取行列式得
|A+2E||A-4E|=|-5E|不等于0
故|A+2E|，|A-4E|不等于0
即|A+2E|可逆

Answer 3

若方阵A、B满足AB=E，则两边取行列式可知
|A||B|=|AB|=|E|=1
因此|A|、|B|均不为零，从而A,B均可逆。
由逆阵的唯一性知A=B^（-1），B=A^(-1)