Question

1道证明题

1、证明：不存在五个顶点都是格点的正五边形（格点是指横、纵坐标均为整数的点）

Answer 1

参数太多。列式太难计算，给你个相同的例子好好研究。

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谁能帮我证明正三角形的三个顶点不能画在格点上面?

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反证法：可设正三角形的三个顶点为（0，0），（a，b），（c，d）。
其中a，b，c，d为整数。则
A=a^2+b^2=c^2+d^2=(a-c)^2+(b-d)^2=
=a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd==>A=2ac+2bd
1)设（a，b，c，d）=B（最大公约数），
a=a'B,b=b'B,c=c'B,d=d'B==>（a'，b'，c'，d'）=1.
2)有A'=a'^2+b'^2=c'^2+d'^2=(a'-c')^2+(b'-d'）^2=2（a'c'+b'd'）==>
==>2|A'。由于（a'，b'，c'，d'）=1，则a'，b'，或c'，d'为奇数。
所以a'^2，b'^2或c'^2，d'^2被4除余1，则A'=a'^2+b'^2=c'^2+d'^2
被4除余2。可设a'，b'，为奇数。
ⅰ。c'，d'为奇数
而A'=(a'-c')^2+(b'-d'）^2被4除余0，矛盾。
ⅱ。c'，d'为偶数，A'=c'^2+d'^2，被4除余0，矛盾。
所以正三角形的三个顶点不能画在格点上面。