Question

一道关于向量的高一数学题

已知△ABC的面积为S，已知向量AB*向量BC=2
(1)若S属于（1，根号3）求向量AB与BC的夹角的取值范围。
(2)若S=3/4AB，求AC的最小值。
第一小题不用做，会的。麻烦写下第二小题。

Answer 1

ACmin=√41/2

∵向量AB*向量BC=2
∴向量AB与向量BC的夹角θ为锐角即∠ABC为钝角
设AB长c,BC长a,AC长b
S=1/2acsinθ=3/4a
c=3/2/sinθ
向量AB*向量BC=accosθ=2
a=4/3tanθ
-cosθ=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
b^2=a^2+c^2+4
=16(sinθ)^2/(9(cosθ)^2)+9((sinθ)^2+(cosθ)^2)/4(sinθ)^2+4
≥4+9/4+4=41/2 当且仅当tanθ=9/8(tan∠ABC=-9/8)时等号成立
b≥√41/2

Answer 2

有难度

Answer 3

(2)s=|AB||BC|sin<AB,BC>=3/4AB那么有BCsina=3/4所以个人认为BC最小为3/4

Answer 4

AB=c, BC=a, AC=b
向量AB*向量BC=2
-ac*cosB=2
cosB=-2/(ac)

S=3/4AB=(3/4)c=(1/2)ac*sinB
sinB=(3/2)/a

[-2/(ac)]^2+[(3/2)/a]^2=1

a^2=(4/c^2)+(9/4)

AC^2=b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
=a^2+c^2+2*2
=(4/c^2)+(9/4)+c^2+4
=[(4/c^2)+c^2] + (25/4)
>=2*4^(1/2) + (25/4)
=4+(25/4)
=41/4

AC>=(1/2)(根号41)