Question

高一数列题

已知an=㏒（n+1）(n+2)(n为正整数)，我们把使乘积a1*a2*a3……*an为整数的数n叫做“劣数”，则在区间（1,2004）内的所有劣数的和为 （）

Answer 1

an=㏒（n+1）(n+2)
=lg(n+2)/lg(n+1) 对数换底公式

推出Tn=a1*a2*a3……*an=lg(n+2)/lg2
令Tn=m>1
lg(n+2)=m*lg2

取10为底的指数

n+2=2^m n,m为正整数，且>1

n=2^m-2
m=2,3,4,5,6,7,8,9,10
n=2,6,14,30,62,126,254,510,1022可以成立

把m相加：=54 即为劣数和

Answer 2

根据对数的乘法性质log以a为底的b乘log以b为底的c等于log以a为底的c
可以得到a1*a2*a3……*an=log2(n+2)，其中2是底数
所以这道题就是求区间（1,2004）内所以2的k次方的数的和，k≥2
4+8+16+32+64+128+256+512+1024=2044

Answer 3

将an=㏒（n+1）(n+2)变形为a(n)=ln(n+2)/ln(n+1)
则a1*a2*a3……*an=ln(n+2)/ln2,即(n+2)为2的整数次方，则n为劣数。
于是n=2^(m+1)-2 m为自然数。
在区间（1,2004）内，m<=9,故所有劣数的和为2^11-2^2-18=2026