Question

高一数学函数题

一直两个二次函数y1和y2 满足①当x=a(a＞0)时，y1最大值为5，此时y2=25；②y2最小值-2；③y1+y2=x^2+16x+13
求a值 和两个二次函数y1和y2的解析式。
请给出过程，谢谢

Answer 1

∵①当x=a(a＞0)时，y1最大值为5，此时y2=25
且 ③y1+y2=x^2+16x+13
∴a^2+16a+13=5+25=30
∴a²+16a-17=0
∴a=-17或1
∵a＞0
∴a=1

∵x=1时，y1有最大值5
∴设：y1=-b(x-1)²+5=-bx²+2bx-b+5 (b>0)
∵y2有最小值-2
∴设：y2=c(x+d)²-2=cx²+2cdx+cd²-2 (c>0)
∵x=1时，y2=25
∴c+2cd+cd²-2=25……④
∵③y1+y2=x^2+16x+13
∴(c-b)x²+2(b+cd)x+cd²-b+3=x^2+16x+13……⑤
显然⑤式需恒成立
∴c-b=1 且 b+cd=8 且 cd²-b=10
∴c=b+1
∴b+(b+1)d=8 且 (b+1)d²-b=10
显然b=-1不符
∴d=(8-b)/(b+1)
代入(b+1)d²-b=10
解得：b=2
∴d=2，c=3
∴
y1=-2(x-1)²+5
y2=3(x+2)²-2