Question

两道初中奥数题，答对追加100分

1.设P（x）是整系数多项式，且有P(19)=P(94)=1994，且其常数项绝对值小于1000，球该常数项。
2.在凸五边形ABCDE中，AB⊥CD,BC⊥DE，AB=AE=DE=1,求证BC+CD<1

Answer 1

1.

设P(x)=x*G(x)+a

则

P（19）=19*G(19)+a=1994   （A）

P(94）=94*G(94)+a=1994     (B)

(B)-(A)=>19*G(19)=94*G(94)

因为是整数多项式，所以G(19)和G(94)都是整数，19和94是互质，因此G(19)必定是94的倍数，而G（94）必定是19的倍数，因此可以设：

G(19)=94*m

G(94)=19*m

代入（A）式

=>19*94*m+a=1994

=>a=1994-1786*m

｜a0｜＜1000 =>|1994-1786*m|<1000 

=》994<1786*m<2994 (m为整数）

=》m只能等于1

因此a=1994-1786=208

2.

添加如下辅助线：

因为角P和角Q都是直角，因此对于AEPQ来说，角E+角A<180度，角E和角A必定有一个角小于180/2=90,假设是A。

通过C点做PD的垂线交AE于K点，通过D点做ED的垂线交AK于N点，通过A点做ED的垂线交AK于M点

CK垂直DP，所以CK平行于AB，同理AS平行于BQ

=》AMCB是一个平行四边形

=》BC=AM

三角形CDN是一个直角三角形，

=> CD<DN

AS平行DN,角NMS<角A<90度，

可知梯形内：DN<MS

=》BC+CD<AM+DN<AM+MS

=>BC+CD<AS

而三角形ASE是直角三角形，AE是斜边

=》AS<AE

=> BC+CD<AE=1

因此原题得证

Answer 2

1.设P(x)的常数项为a0，则P(x)＝x•Q(x)+a0其中Q(x)是整系数多项式，
所以P(19)＝19n+a0P(94)=94m+a0其中m、n为整数．
由P(19)=P(94)得19n=94m，
所以n=94k，m=19k(k为整数)
于是19•94k+a0=1994，
由此得a0=1994-1786k
因为｜a0｜＜1000，
所以k=1，a0=208．