Question

数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn与an之间满足an=2Sn^2/2Sn -1 (n>=2)

1.求证数列1/Sn是等差数列
2.求数列an的通项公式

Answer 1

1)
由an=2(Sn^2)/(2Sn-1) (n≥2),得
Sn-S(n-1)=2(Sn^2)/(2Sn-1) (n≥2),
得S(n-1)-Sn-2S(n-1)Sn=0
同时除以S(n-1)Sn得到
1/Sn-1/S(n-1)=2
所以数列{1/Sn}是等差数列,首项为1/S1=1/A1=1,公差为2.

2)n≥2时，a[n]=s[n]-s[n-1],
将它代入an= 2Sn^2/2Sn-1 ，并化简，得
1/s[n]=1/s[n-1]+2 （n≥2）
上式表明{1/s[n]}是以1/s[1]=1/a[1]=1 为首项，2为公差的等差数列
所以1/s[n]=2n-1,s[n]=1/(2n-1) （n≥1）

故n=1时，a[1]=1;
n≥2时，a[n]=s[n]-s[n-1]
=1/(2n-1)-1/(2n-3)
=-2/[(2n-1)(2n-3)]