Question

数学急！

O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC）.λ∈[0，+∞）则动点P的轨迹一定通过△ABC的
A垂心 B重心 C中心 D内心

Answer 1

题目条件转化为：
向量AP=λ/sinB*向量AB/|向量AB| + λ/sinC*向量AC/|向量AC|，
向量AP=λ/sinB*向量c0 + λ/sinC*向量b0，
向量c0=向量AB/|向量AB|表示AB方向上的单位向量，
向量b0=向量AC/|向量AC|表示AC方向上的单位向量，

做BC边上的高AD，中线AE，延长AE至F使得AE=EF，则ABFC为平行四边形。
设AD=h，当λ=AD=h时，λ/sinB=AB，λ/sinC=AC，
于是向量AP=AB*向量c0 + AC*向量b0，
向量AP=向量AB+向量AC=向量AF，
当λ≠AD时，设λ=k*h（k为实数），很容易得到向量AP=k*向量AF。
故P点总是在直线AF上，即在中线AE所在直线上，中线过重心，