已知函数f(x)=根号(x^2+1)-ax,a>0
(1)若2f(x)=f(-1).求a的值(2)证明,当且仅当a≥1时,函数f(x)在区间【0,正无穷】上为单调函数详解...
(1)若2f(x)=f(-1).求a的值 (2)证明,当且仅当a≥1时,函数f(x)在区间【0,正无穷】上为单调函数 详解
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2010-08-04
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证明:设x1>x2≥0,则
f(x1)-f(x2)=√(x1^2+1)-ax1-√(x^2+1)+ax2
=(x1^2-x2^2)/[√(x1^12+1)+√(x2^2+1)]-a(x1-x2)
=(x1-x2){x1+x2-a[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]}/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
又x1>x2≥0,a≥1,即
x1-x2>0,x1<a√(x1^2+1),x2<a√(x2^2+1)
所以f(x1)-f(x2)<0
即当a≥1时,f(x)在[0,+∞)上是减函数
f(x1)-f(x2)=√(x1^2+1)-ax1-√(x^2+1)+ax2
=(x1^2-x2^2)/[√(x1^12+1)+√(x2^2+1)]-a(x1-x2)
=(x1-x2){x1+x2-a[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]}/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
又x1>x2≥0,a≥1,即
x1-x2>0,x1<a√(x1^2+1),x2<a√(x2^2+1)
所以f(x1)-f(x2)<0
即当a≥1时,f(x)在[0,+∞)上是减函数
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